5.3 Ley de Coulomb - Física universitaria volumen 2

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir la fuerza eléctrica, tanto cualitativa como cuantitativamente.
Calcular la fuerza que ejercen las cargas entre sí.
Determinar la dirección de la fuerza eléctrica para diferentes cargas de origen.
Describir y aplicar correctamente el principio de superposición para cargas de fuentes múltiples.

Los experimentos con cargas eléctricas han demostrado que si dos objetos tienen cada uno una carga eléctrica, entonces ejercen una fuerza eléctrica el uno sobre el otro. La magnitud de la fuerza es linealmente proporcional a la carga neta de cada objeto e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos (curiosamente, la fuerza no depende de la masa de los objetos). La dirección del vector fuerza es a lo largo de la línea imaginaria que une los dos objetos y está dictada por los signos de las cargas involucradas.

Supongamos que

$q_{1}, q_{2} =$ las cargas eléctricas netas de los dos objetos;
${\vec{r}}_{12} =$ el desplazamiento vectorial de $q_{1}$ a $q_{2}$ .

La fuerza eléctrica $\vec{F}$ en una de las cargas es proporcional a la magnitud de su propia carga y a la magnitud de la otra carga, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas:

$F \propto \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}} .$

Esta proporcionalidad se convierte en una igualdad con la introducción de una constante de proporcionalidad. Por razones que se aclararán en un capítulo posterior, la constante de proporcionalidad que utilizamos es en realidad una colección de constantes. (En breve hablaremos de esta constante).

Ley de Coulomb

La magnitud de la fuerza eléctrica (o fuerza de Coulomb) entre dos partículas cargadas eléctricamente es igual a

$| F_{12} | = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{| q_{1} q_{2} |}{r_{12}^{2}}$

5.1

(Video) LEY DE COULOMB / EJERCICIO 1 Y 2

El vector unitario $r$ tiene una magnitud de 1 y apunta a lo largo del eje como las cargas. Si las cargas tienen el mismo signo, la fuerza está en la misma dirección que $r$ mostrando una fuerza de repulsión. Si las cargas tienen signos diferentes, la fuerza es en la dirección opuesta a $r$ mostrando una fuerza de atracción. (Figura 5.14).

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Figura 5.14 La fuerza electrostática $\vec{F}$ entre cargas de puntos $q_{1}$ y $q_{2}$ separadas por una distancia r viene dada por la ley de Coulomb. Observe que la tercera ley de Newton (toda fuerza ejercida crea una fuerza igual y opuesta) se aplica como siempre: la fuerza sobre $q_{1}$ es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza que ejerce sobre $q_{2}$ . (a) Cargas similares; (b) cargas diferentes.

Es importante tener en cuenta que la fuerza eléctrica no es constante; es una función de la distancia de separación entre las dos cargas. Si la carga de prueba o la carga fuente (o ambas) se mueven, entonces $\vec{r}$ cambia, y por lo tanto también lo hace la fuerza. Una consecuencia inmediata de esto es que la aplicación directa de las leyes de Newton con esta fuerza puede ser matemáticamente difícil, dependiendo del problema específico en cuestión. Se puede (normalmente) hacer, pero casi siempre buscamos métodos más sencillos para calcular cualquier cantidad física que nos interese. (La conservación de la energía es la opción más común).

Por último, la nueva constante $ε_{0}$ en la ley de Coulomb se llama la permeabilidad del espacio libre, o (mejor) la permitividad del vacío. Tiene un significado físico muy importante que discutiremos en un capítulo posterior; por ahora, es simplemente una constante de proporcionalidad empírica. Su valor numérico (con tres cifras significativas) resulta ser

$ε_{0} = 8,85 \times 10^{−12} \frac{C^{2}}{N \cdot m^{2}} .$

Estas unidades son necesarias para dar a la fuerza en la ley de Coulomb las unidades correctas de newtons. Observe que en la ley de Coulomb, la permitividad del vacío es solo una parte de la constante de proporcionalidad. Por comodidad, solemos definir una constante de Coulomb:

$k_{e} = \frac{1}{4 π ε_{0}} = 8,99 \times 10^{9} \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} .$

Ejemplo 5.1

La fuerza sobre el electrón en el hidrógeno

Un átomo de hidrógeno está formado por un solo protón y un solo electrón. El protón tiene una carga de $+ e$ y el electrón tiene $− e$ . En el "estado fundamental" del átomo, el electrón orbita alrededor del protón a la distancia más probable de $5,29 \times 10^{−11} m$ (Figura 5.15). Calcule la fuerza eléctrica sobre el electrón debido al protón.

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Figura 5.15 Representación esquemática de un átomo de hidrógeno, mostrando la fuerza sobre el electrón. Esta representación es solo para permitirnos calcular la fuerza; el átomo de hidrógeno no tiene realmente este aspecto. Recuerde la Figura 5.7.

Estrategia

Para este ejemplo, tratamos al electrón y al protón como dos partículas puntuales, cada una con una carga eléctrica, y se nos dice la distancia entre ellas; se nos pide que calculemos la fuerza sobre el electrón. Por lo tanto, utilizamos la ley de Coulomb.

Solución

Nuestras dos cargas y la distancia entre ellas son,

(Video) SERWAY VOLUMEN 2 LEY DE COULOMB CAPÍTULO 23 - EJERCICIO 7

$\begin{matrix} q_{1} & = & + e = + 1,602 \times 10^{−19} C \\ q_{2} & = & − e = −1,602 \times 10^{−19} C \\ r & = & 5,29 \times 10^{−11} m . \end{matrix}$

La magnitud de la fuerza sobre el electrón es

$F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{{| e |}^{2}}{r^{2}} = \frac{1}{4 π (8,85 \times 10^{−12} \frac{C^{2}}{N \cdot m^{2}})} \frac{{(1,602 \times 10^{−19} C)}^{2}}{{(5,29 \times 10^{−11} m)}^{2}} = 8,25 \times 10^{−8} N .$

En cuanto a la dirección, dado que las cargas de las dos partículas son opuestas, la fuerza es atractiva; la fuerza sobre el electrón apunta radialmente de forma directa hacia el protón, en cualquier parte de la órbita del electrón. La fuerza se expresa así como

$\vec{F} = (8,25 \times 10^{−8} N) \hat{r} .$

Importancia

Se trata de un sistema tridimensional, por lo que el electrón (y, por tanto, la fuerza que se ejerce sobre él) puede estar en cualquier lugar de una envoltura esférica imaginaria alrededor del protón. En este modelo "clásico" del átomo de hidrógeno, la fuerza electrostática sobre el electrón apunta en la dirección centrípeta hacia adentro, manteniendo así la órbita del electrón. Pero hay que tener en cuenta que el modelo mecánico cuántico del hidrógeno (discutido en Mecánica cuántica) es totalmente diferente.

Compruebe Lo Aprendido 5.1

¿Qué diferencia habría si el electrón también tuviera una carga positiva?

Cargas de origen múltiple

El análisis que hemos hecho para dos partículas puede extenderse a un número arbitrario de partículas; simplemente repetimos el análisis, dos cargas a la vez. En concreto, nos preguntamos: dadas N cargas (a las que nos referimos como carga fuente), ¿cuál es la fuerza eléctrica neta que ejercen sobre alguna otra carga de puntos (a la que llamamos carga de prueba)? Observe que utilizamos estos términos porque podemos pensar que la carga de prueba se utiliza para probar la fuerza proporcionada por las cargas fuente.

Como todas las fuerzas que hemos visto hasta ahora, la fuerza eléctrica neta sobre nuestra carga de prueba es simplemente la suma vectorial de cada fuerza eléctrica individual ejercida sobre ella por cada una de las cargas fuente individuales. Así, podemos calcular la fuerza neta sobre la carga de prueba Q calculando la fuerza sobre ella de cada carga fuente, tomada de una en una, y luego sumando todas esas fuerzas (como vectores). Esta capacidad de sumar simplemente las fuerzas individuales de esta manera se conoce como el principio de superposición, y es una de las características más importantes de la fuerza eléctrica. En forma matemática, esto se convierte en

$\vec{F} (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} Q \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_{i}}{r_{i}^{2}} {\hat{r}}_{i} .$

5.2

(Video) Ley de Coulomb. Problema 22.48 Serway. Ocho partículas con carga situadas en las esquinas de un cubo

En esta expresión, Q representa la carga de la partícula que experimenta la fuerza eléctrica $\vec{F}$ , y se encuentra en $\vec{r}$ desde el origen; los $q_{i} ’s$ son las N cargas fuente, y los vectores ${\vec{r}}_{i} = r_{i} {\hat{r}}_{i}$ son los desplazamientos desde la posición de la i-ésima carga hasta la posición de Q. Cada uno de los N vectores unitarios apunta directamente desde su carga fuente asociada hacia la carga de prueba. Todo esto está representado en la Figura 5.16. Tenga en cuenta que no hay ninguna diferencia física entre Q y $q_{i}$ ; la diferencia en las marcas es simplemente para permitir una discusión clara, siendo Q la carga sobre la que estamos determinando la fuerza.

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Figura 5.16 Cada una de las ocho cargas fuente aplica una fuerza sobre la única carga de prueba Q. Cada fuerza puede calcularse independientemente de las otras siete fuerzas. Esta es la esencia del principio de superposición.

(Observe que el vector fuerza ${\vec{F}}_{i}$ no apunta necesariamente en la misma dirección que el vector unitario ${\hat{r}}_{i}$ ; puede apuntar en la dirección opuesta, $− {\hat{r}}_{i}$ . Los signos de la carga fuente y de la carga de prueba determinan la dirección de la fuerza sobre la carga de prueba).

Sin embargo, hay una complicación. Al igual que las cargas fuente ejercen cada una de ellas una fuerza sobre la carga de prueba, también (por la tercera ley de Newton) la carga de prueba ejerce una fuerza igual y opuesta sobre cada una de las cargas fuente. Como consecuencia, cada carga de la fuente cambiaría de posición. Sin embargo, según la Ecuación 5.2, la fuerza sobre la carga de prueba es una función de la posición; por lo tanto, a medida que las posiciones de las cargas fuente cambian, la fuerza neta sobre la carga de prueba cambia necesariamente, lo que cambia la fuerza, que a su vez cambia las posiciones. Así, todo el análisis matemático se vuelve rápidamente intratable. Más adelante, aprenderemos técnicas para manejar esta situación, pero por ahora, hacemos la suposición simplificadora de que las cargas fuente están fijadas en su lugar de alguna manera, de modo que sus posiciones son constantes en el tiempo (la carga de prueba puede moverse). Con esta restricción, el análisis de las cargas se conoce como electrostática, donde "estática" se refiere a las posiciones constantes (es decir, estáticas) de las cargas fuente y la fuerza se denomina fuerza electrostática.

Ejemplo 5.2

La fuerza neta de dos cargas de origen

Se colocan tres pequeños objetos cargados diferentes como se muestra en la Figura 5.17. Las cargas $q_{1}$ y $q_{3}$ están fijadas en su lugar; $q_{2}$ es libre de moverse. Dado que $q_{1} = 2 e$ , $q_{2} = −3 e$ , y $q_{3} = −5 e$ , y que $d = 2,0 \times 10^{−7} m$ , ¿cuál es la fuerza neta sobre la carga central $q_{2}$ ?

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Figura 5.17 Cargas de la fuente $q_{1}$ y $q_{3}$ cada uno aplica una fuerza sobre $q_{2}$ .