Respuesta a “Matemática en acción con números cortés, y un desmenuce de apotegma” (2022)

Respuesta a “Matemática en acción con números cortés, y un desmenuce de apotegma” (1)Este acertijo hizo sudar las neuronas de algunos de los destacados, como suele suceder el método de llenar el vaso gota a gota pugnó con el método de echar de un tirón el agua necesaria para llenarlo. El desmenuce del apotegma nos servirá para un aprendizaje significativo de la obra de nuestro José Martí.

Vamos por parte.

I

Se dice que un número natural es cortés, cuando se puede expresar como una suma de dos o más números naturales consecutivos.

Supongamos que podemos utilizar los números naturales del 1 al 20

Pero antes de responder abordaré algo que puede haber creado dudas en lo relativo a la ortografía, ¿números cortés y no número corteses? Aquí la palabra cortés está funcionando como un sujeto en aposición de números que lo adjetiva. Es como decir los objetivos clave. Pero no es incorrecto decir objetivos claves, como tampoco números corteses.

a ¿Cuál es el menor y cuál el mayor número cortés que se puede formar?

Respuesta:

El menor es 3 y el mayo 210

El menor sale de la suma de los dos menores 1+2=3

El mayor sale de la suma de los 20; 1+2+3+4+…+19+20

Es una progresión aritmética de diferencia igual a 1; que comienza en 1 y termina en 20. Entonces la suma viene dada por (1+20)*20/2= 21*10= 210

Felicitaciones a los que respondieron bien a este caramelito.

b ¿Se pueden formar menor, igual, o mayor cantidad de números cortés pares que impares?

Respuestas: Hay más números cortés impares.

100 impares y 90 pares; contando los repetidos

Las potencias de 2, dan números pares pero no pueden expresarse por sumas de 2 o más (hasta 20 en nuestro caso) de números consecutivos. Por yanto no pueden aparecer entre los 190.

He visto respuesta con ingeniosas demostraciones, y con resultados diferentes y contradictorios.

A este inciso hay que darle más taller.

  • Charliedijo:

Es evidente que solo las potencias de 2 no son corteses. Del 1 al 210, estaríamos quitando 1,2,4,8,16,32,64 y 128: 7 pares y un impar. Pero también hay que quitar otros pares e impares que son menores que 210 y no se pueden formar sumando números consecutivos entre 1 y 20. Solo tiene sentido buscarlos a partir de 20+21=41 en adelante, estos son los que yo encontré:
PARES:
82,86,94,96,106,118,122,134,140
142,146,148,158,160,164,166,172,176
178,186,188,192,194,196,198,202,206
208

IMPARES: 41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
101,103,107,109,111,113,123,127,129
131,137,139,141,149,151,157,159,163
167,173,177,179,181,183,185,191,193
197,199,201,203,205

Entre las potencias de 2 y estos, yo cuento 35 pares y 46 impares.

Luego, UTILIZANDO LOS NATURALES DEL 1 AL 20, podemos construir más corteses pares que impares.

  • ...dijo:

Números ausentes:
2, 4, 8, 16, 32, 64 y 128 por la hipótesis del I.b.

IMPARES: 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 111, 113, 123, 127, 129, 131, 137, 139, 141, 149, 151, 157, 159, 163, 167, 173, 177, 179, 181, 183, 185, 191, 193, 197, 199, 201, 203, y 205 .

PARES: 82, 86, 94, 96, 106, 118, 122, 134, 140, 142, 146, 148, 158, 160, 164, 166, 172, 176, 178, 186, 188, 192, 194, 196, 198, 202, 206, y 208.

Lo que plantea la contra hipótesis al ejercicio I.b. que existen más números cortés pares que impares entre los números naturales desde el 1 al 210.

Pero en la respuesta anterior

  • ...dijo:

Se pueden formar mayor cantidad de números cortés impares que pares, ya que los números naturales pares 2, 4, 8, 16, 24, 48, 96, 192, 384, 728, ... (2^n, con iniciando en 1) no son posible formarlos ya que 2=1+1, 4=2+2=3+1, 8=4+4=5+3=6+2=7+1 no son consecutivos, igual que los otros múltiplos.

  • Pavel dijo:

Sí, en un contexto más general al del rango de números naturales del 1 al 20, es fácil demostrar que los números corteses son todos los números impares exceptuando al 1. En efecto, dado que por definición todo número cortés debe expresarse como la suma de al menos dos números naturales consecutivos, tendríamos (sin pérdida de generalidad en la elección de los números consecutivos):

C(n) = (2n + 1) + (2n + 2) = 2(2n + 1) + 1 = 2p + 1, el cual es impar para n >= 0 o p > 0. Ambos enteros.

Los números naturales impares (exceptuando al 1) pueden hacerse corresponder con los números naturales. Lo mismo ocurre con los pares, incluyendo al 1. De manera que existe la misma cantidad de números corteses y no corteses.

c Próximamente arribaremos a una fecha significativa de nuestro historia, el 13 de agosto. ¿Es el número 13 un número cortés?

Respuesta: Sí el número 13 es cortés, ya que se puede expresar por dos números consecutivos. 6+7= 13

Como sabemos el próximo 13 de agosto el líder de la Revolución Cubana estaría cumpliendo 96 años.

dDetermina si los años que tienes cumplido, se corresponde con un número cortés.

Si no quieres descubrir tu edad, ponte otra que te haga sentir mejor. Es tu decisión

Respuesta:

Gracias por colaborar y por la sinceridad.

Una observación estadística. De los 6 que respondieron, los 6 están en una edad que es un número cortés.

e¿Cuántos números cortés diferentes podemos formar , teniendo como fuente a esa lista de 20 números naturales?

Respuesta: 131 números cortés diferentes.

Un método de cálculo es realizar agrupaciones por la cantidad de sumandos para obtener un número cortés. Así tendríamos el grupo de dos sumandos, el de tres el de cuatro, y así sucesivamente hasta el de 20 sumandos.

  • El grupo de 2 sumandos aporta 19 números
  • El grupo de 3 sumandos aporta 18 números
  • El grupo de 4 sumandos aporta 17 números
  • El grupo de 5 sumandos aporta 16 números
  • Cada nuevo grupo decrece en 1
  • El de 19 sumandos aporta 2 números
  • El de 20 sumando aporta 1 número cortés.
  • La suma de los primeros 19 números naturales es 190.

Pero como se pide que sean números diferentes hay que restarle los repetidos, que son 61. Y 190-61= 129.

Hay números que aparecen dos veces, por ejemplo el 9 el 18 el 57 el 143 el 189.

Aparecen tres veces otros como por ejemplo 15; 27; 45; 90; 135.

Y cuatro veces aparecen el 45 (1+2+3+4+5+6+7+8+9; 14+15+16; 7+8+9+10+11; y 5+6+7+8+9+10) y el 105 (este te lo dejo para que los busques)

A continuación algo sobre las respuestas correctas, que dieron PROA y Charlie

PROA hizo buen análisis para llegar a los 190, y para dejar los que no se repiten realizó un laborioso trabajo de búsqueda de los que aparecen más de una vez.

Él escribió:

No resolví otra forma que desarrollarlas para poder ubicar los números naturales que se repiten, tal cual la argumentación del 3 al 20, donde se repiten el 9 y el 18 dos veces, y el 15 tres veces.

Por lo tanto obtuve25 números que se repiten dos veces, 15 números que se repiten tres veces y 2 números que se repiten cuatro veces.

De total de 190 combinaciones se deben restar, 25, 2 veces 15 y 3 veces 2, para la cantidad total de números cortés:

129=190-25-2*15-3*2=190-25-30-6=190-61

  • Charlie le puso con todo:

Es verdad que hay 190=19+18+...+1 formas de construir números corteses sumando los naturales entre 1 y 20, pero no todos los obtenidos son DIFERENTES (ver enunciado).

Por ejemplo:

15= 1+2+3+4+5= 4+5+6= 7+8

Entonces a 190 hay que restarle bastantes repeticiones.

Existe un concepto que no conocía hasta ayer: la cortesía de un número. No es más que la cantidad de formas en que éste se puede obtener sumando consecutivos. La cortesía es igual al número de divisores impares de un número. Las potencias de 2 tienen cortesía 0 (números maleducados). Yo tuve que crearme mi propio concepto: la cortesía restringida (cr), en este caso restringida al conjunto de los números del 1 al 20. De las 190 posibilidades, cada número resta cr-1, por lo que interesa cualquier número con cr mayor que 1. Estos son los que yo encontré:

9, cr 2, resta 1

15, cr 3, resta 2

18, cr 2, resta 1

21, cr 3, resta 2

25, cr 2, resta 1

27, cr 3, resta 2

30, cr 3, resta 2

33, cr 3, resta 2

35, cr 3, resta 2

36, cr 2, resta 1

39, cr 3, resta 2

42, cr 3, resta 2

45, cr 4, resta 3

50, cr 2, resta 1

51, cr 2, resta 1

54, cr 3, resta 2

55, cr 2, resta 1

57, cr 2, resta 1

60, cr 2, resta 1

63, cr 3, resta 2

65, cr 2, resta 1

66, cr 2, resta 1

70, cr 3, resta 2

75, cr 3, resta 2

77, cr 2, resta 1

81, cr 2, resta 1

84, cr 2, resta 1

85, cr 2, resta 1

90, cr 3, resta 2

91, cr 2, resta 1

99, cr 3, resta 2

105, cr 4, resta 3

108, cr 2, resta 1

117, cr 2, resta 1

119, cr 2, resta 1

126, cr 2, resta 1

132, cr 2, resta 1

135, cr 3, resta 2

143, cr 2, resta 1

150, cr 2, resta 1

165, cr 2, resta 1

189, cr 2, resta 1

Total a restar: 61

190-61=129

129 es la cantidad de números corteses DIFERENTES que podemos formar sumando números consecutivos entre 1 y 20.

  • RARJno se quedó atrás y le puso también cacumen del bueno:

Realizando los siguientes cálculos:
1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10 … Σ 1 al 20 = 210
2+3=5, 2+3+4=9, 2+3+4+5=14 … Σ 2 al 20 = 209
Y asi sucesivamente hasta el 20, estos son los números corteses que obtuve:
3-5-6-7-9-10-11-12-13-14-15-17-18-19-20-21-22-23-24-25
26-27-28-29-30-31-33-34-35-36-37-38-39-40-42-44-45-46-48-49
50-51-52-54-55-56-57-58-60-62-63-65-66-68-69-70-72-74-75-77
78-80-81-84-85-87-88-90-91-92-93-95-98-99-100-102-104-105-108-110
112-114-115-116-117-119-120-124-125-126-130-132-133-135-136-138-143-144-145-147
150-152-153-154-155-156-161-162-165-168-169-170-171-174-175-180-182-184-187-189
190-195-200-204-207-209-210
Para un total de 127 números corteses.
NOTA: Un número cortes puede obtenerse por combinaciones diferentes. Si lo que se pide es esta cantidad de combinaciones entonces serían un total de 190.

Pavel hizo el análisis correcto, pero no se percató que los números debían ser diferentes.

Fue un chícharo bien cocinado.

II

Desmenuce el siguiente apotegma de nuestro José Martí:

“Triste cosa es no tener amigos, pero más triste es no tener enemigos.

Porque quien enemigos no tenga, es señal de que no tiene; ni talento que haga sombra; ni bienes que se le codicien; ni carácter que impresione; ni valor temido; ni honra de la que se murmure; ni ninguna cosa buena que se le envidie”.

Desmenuzar un apotegma es entrar en sus esencias, analizarlo, buscar o inventar otros similares que lo confirmen y otros que lo contradigan.

Cuando seleccioné este apotegma que atribuí a la autoría de José Martí, tenía duda si realmente era de él; pero decidí mantenerlo por dos razones. Porque no tenía tiempo de investigar y porque en la respuesta pensé abordar este asunto polémico de aforismos atribuidos a Martí erróneamente.

Hubo un parapensador que se identificó como Lázaro mecánico, que me invito a rectificar. Él tuvo la amabilidad de comunicarse conmigo por Messenger y pudimos profundizar en el asunto. Además le pedí ayuda a mi amigo Luis Toledo Sande, conocedor a fondo de la vida y la obra de Martí.

Conclusiones, ese apotegma no es de José Martí, como tampoco lo es aquel de que robar libros, no es robar.

En Para Pensar los errores siempre serán tratados como fuente de conocimiento

A continuación parte de lo que me envió el amigo Lázaro.

Aforismos que no son de Martí:

Una de las más conocidas entre las tantas frases atribuidas a Martí, y aunque existe, no pertenece al Héroe Nacional de Cuba, sino al escritor español Baltasar Gracián (1601-1658) «Triste cosa es no tener amigos, pero más triste es no tener enemigos, porque quien enemigos no tenga, es señal …». Quienes lo duden, pueden buscarla en las obras de ese autor.

«Si los que hablan mal de mí supieran exactamente lo que yo pienso de ellos, hablarían peor». Con solo un clic, cualquiera puede conocer que esta cita no pertenece a José Martí, sino al dramaturgo, escritor y cineasta francés, de origen ruso, Sacha Guitry (1885-1957).

«Robar libros no es robar». Esta es otra cita que contradice la ética de Martí. Al parecer, el verdadero autor quiso con ella justificar tan cuestionable actitud, que quizás él mismo tiene. La obra del Apóstol no se conoce reproduciendo simples citas, muchas falsas y tergiversadas, sino leyéndola, investigándola y estudiándola. Antes de asumir una frase como propia de él, es necesario antes contrastar sus textos, para no caer más en la trampa y pecar de ingenuos. Tomado de: http://www.vanguardia.cu

Esto fue lo que me hizo llegar Luis Toledo Sande:

¡Caramba!, no me leen. Eso que dice el mensaje es correcto. Y está, de paso, tratado en los artículos que he dedicado al tema. Son varios. El mensaje es correcto.

Además me hizo llegar los siguientes enlaces que pueden seguir los interesados.

https://www.cubaperiodistas.cu/index.php/2021/01/jose-marti-citas-dudosas-falseadas-o-apocrifas/

Nota bibliográfica:

No obstante hubo buenas reflexiones de algunos de ustedes.

  • Clau del Kmdijo:

Este pensamiento de Martí es de mis preferidos. Como siempre, dejando al descubierto una parte de la esencia humana – perfectible, afortunadamente – que refiere a compararse con el otro, y hacer amigos donde se encuentran afinidades, y encontrar enemigos o gente que no comulga con nuestra forma de ser y hasta es abiertamente combativo contra los diferentes. Habría menos conflicto en el mundo si, en vez de ir convirtiéndose uno en enemigo de alguien, o encontrándose contrarios a uno, los humanos fuéramos más respetuosos con las diferencias, como bien dijo Benito Juárez: el respeto al derecho ajeno, es la paz.

  • RARJdijo:

Para el Punto II que tiene
La frase, va mi refrán:
“Cuando los amigos van,
Los enemigos ya vienen”.
Marthin Luther King sostiene
Que pa´ tener enemigos,
Tan solo basta, mi amigo,
Decir lo que piensas, y
Profesor, si esto es así
No faltarán enemigos.

  • ...dijo:

Si la soledad es triste, entonces la ignorancia, estar estancado, no progresar, no mejorar, no analizar la contradicción, deambular en la vida sin sentido, ser inerte es peor que la tristeza, casi un estado depresivo, de melancolía, pena, y todo lo que pueda ser inferior.

Martí analiza que un ser aislado en lo social, sin quien lo apoye (amistades) ni quién le haga contra fuerza intelectual, moral, física, laboral, u otra (enemistades), es un ser oscuro u opaco (si se representara con colores para la felicidad), peor que triste.

Este apotegma me recuerda a la frase de Sócrates: la verdadera sabiduría está en reconocer la propia ignorancia. Relacionando ambos, opino que la felicidad está en reconocer tanto en amigos como en los enemigos las oportunidades de mejorar o progresar en el talento, bienes, valores, y honores; porque de lo contrario será un ser infeliz, triste, aislado y estancado.

Quizás un apotegma contradictorio es: Mejor sólo, que mal acompañado. Porque propicia la soledad y el aislamiento social, en cambio Martí propone la evolución social del ser, su dinamismo entre individuos acompañantes que puedan compartir o diferir en sus acciones o ideas.

Nos encontraremos el próximo lunes 8 de agosto para seguir ejercitando el conocimiento y el pensamiento analítico y creativo.

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Author: Sen. Emmett Berge

Last Updated: 12/04/2022

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Name: Sen. Emmett Berge

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Job: Senior Healthcare Specialist

Hobby: Cycling, Model building, Kitesurfing, Origami, Lapidary, Dance, Basketball

Introduction: My name is Sen. Emmett Berge, I am a funny, vast, charming, courageous, enthusiastic, jolly, famous person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.